顶点坐标公式及推导过程

在数学中，顶点坐标公式是用于确定二次函数图像顶点位置的重要工具。对于二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），其顶点坐标公式为\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)。

推导过程如下：

我们先将二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)进行配方，得到\(y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\)。

从这个式子可以看出，当\(x = -\frac{b}{2a}\)时，\((x + \frac{b}{2a})^2 = 0\)，(y\)取得最值\(\frac{4ac - b^2}{4a}\)，所以顶点坐标为\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)。

对于二次函数\(y = 2x^2 - 4x + 1\)，(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 1\)。

根据顶点坐标公式，\(-\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\times2} = 1\)，\(\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4\times2\times1 - (-4)^2}{4\times2} = -1\)，所以该函数的顶点坐标为\((1, -1)\)。

顶点坐标公式在解决二次函数的相关问题中有着广泛的应用，如求函数的最值、对称轴等。它为我们研究二次函数的性质提供了重要的依据。